第一章
复 述和复变函 数
1. 5连续
若函数 在 的领域内（包括 本身）
已经单值确定，并且 ，
则称 f(z)
在 点连续。
1.6 导数
若函数
在一点的导数存在，则称函数在该点
可导。
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 的导数
存在的条件
(i) 、 、 、 在点不仅存在而且
连续。
(ii)C -R 条 件 在 该 点 成 立 。C-R 条件为
1.7 解析
若
函数不仅在一点是可导的，而且在该点的
领域内点点是可导的，则称该点是解析的。
解析的必要条件：函数 f(z)=u+iv在点z的
领域内
(i) 、 、 、 存在。
(ii)C -R 条件在该点成立。
解析的充分条件：函数 f(z)=u+iv在领域内(i) 、 、 、 不仅存在而且连续。
(ii)C -R 条件在该点成立。
1.8 解析函数和调和函数的关系
拉普拉斯方程的解都是调和函数： + =0
①由此可见解析函数的实部和虚部都是调
和函数。但是任意的两个调和函数作为虚实
两部形成的函数不一定是解析函数，因为它
们不一定满足 C—
R 条件。 ②当知道
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)中的 u(x,y)时，
如何求 v(x,y)?
通过 C—
R 条件列微分方程
第二章 复变函数的积分
2.2 解析函数的积分
柯西定理： 若函数f(z)在单连区域 D内是解
析的，则对于所有在这个区域内而且在两个
公共端点 A与 B的那些曲线来讲，积分 的值均相等。
柯西定理推论： 若函数f(z)
在单连区域 D内
解析，则它沿 D内任一围线的积分都等于
零。
二连区域的柯西定理 ：若 f(z)
在二连区域 D
解析，边界连续，则 f(z)
沿外境界线 (逆时针
方向 )的积分等于 f(z)沿内境界线 (逆时针方
向
) 的积分。
n+1 连区域柯西定理 ： 推论：在
f(z)的解析区域中，围线连续变形
时，积分值不变。
2.3 柯西公式
若 f(z)
在单连有界区域 D内解析，在闭区域
D 的边界连续，则对于区域 D的任何一个
内
点 a，有 其中 是境
界线。
2.5 柯西导数公式
第三章 级数
3.2 复变函数项级数
外尔斯特拉斯定理 ：如果级数 在境
界 上一致收敛，那么
(i) 这个级数在区域内部也收敛，其值为 F(z)
(ii) 由它们的 m阶导数组成的级数) (x f 0z 0z ) ( ) ( 0 lim 0
z f z f
z z
0z x
u
y
u
x
v
y
v
y
y x u
x
y x v
y
y x v
x
y x u
) , ( ) , (
) , ( ) , ( x
u
y
u
x
v
y
v
x
u
y
u
x
v
y
v
2
2
x
u
2
2
y
u
B
A
dzz f ) (
C
dzz f
数学物理方法知识点归纳.pdf