《常微分方程》复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科1101 陈弄祺
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《常微分方程》复习资料
1．（变量分离方程）形如 () ( )
dyf xy
dx （1.1）的方程，称为变量分离方程，这里 (), ( )f xy 分别是 ,x y的连续函数．
解法：（1 ）分离变量，当
() 0y 时，将（1.1）写成 ()
()
dyf xdx
y ，这样变量就“分离”了；
（2 ）两边积分得
()
()
dyf xdx c
y （1.2 ），由（ 1.2）所确定的函数 (,) y xc 就为（1.1）的解．
注：若存在
0y ，使 0 ()0 y ，则 0 y y
也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上．
2 ．（齐次方程）形如
()
dy y
g
dx x 的方程称为齐次方程，这里 是 u的连续函数． ()
gu
解法：（1 ）
作变量代换（引入新变量）
y u x ，方程化为 ()
du g u u
dx x ，（这里由于 dy du x u
dx dx ）；
（2 ）解以上的分离变量方程；
（3 ）变量还原．
3 ．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程
() () () 0 dy
ax bxy cx
dx 在 的区间上可写成 () 0
ax
() ()
dy
Pxy Qx
dx （
3.1 ），这里假设 在考虑的区间上是 (), ()
Px Qx x的连续函数．若 ，则（3.1 ）变 为 () 0
Qx
()
dy
Pxy
dx （3.2
），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若 () 0
Qx ，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程．
解法：（1 ）解对应的齐次方程
()
dy
Pxy
dx ，得对应齐次方程解 ()
px y ce dx
， 为任意常数； c
（ 2）常数
变异法求解（将常数 变为
c x的待定函数 ，使它为（3.1 ） 的解）：令 为（3. 1 ）的
解，则 ()
cx () () pxdx ycxe
() () ()
()() p
pxdx
px dy dc x
ecxxe
dx dx dx，代入（3.1）得 () ()
() pxdx dc
dx x
Qxe
)
，积分得 ； ()
pxdx c
() ()
cx Qxe
（3 ）故（3.
1 ）的通解为
() () (() pxdx pxdx y eQxedx
c ．
4 ．（伯努利方程）形如
() () n dy
Pxy Qxy
dx 的方程，称为伯努利方程，这里
为 (), ()
Px Qx x的连续函数．
解法：（1 ）引入变量变换 ，方程变为
1n zy (1 ) ( ) (1 ) ( )
dz
nPxz nQx
dx ；
（2 ）求以上线性方程的通解；
（3 ）变量还原．
5 ．（可解出 的方程）形如
y (, )dy
yfx
dx
(5.1)
的方程，这里假设 (, )f xy 有连续的偏导数．
解法：（1 ）引进参数
dy
p
dx
《常微分方程》知识点整理.pdf
