1 第一章实数集与函数
§ 1实数
授课章节： 第一章实数集与函数 ——§1实数
教学目的：使学生掌握实数的基本性质．
教学重点：
(1)
理解并熟练运用实数的有序性、稠密性和封闭性；
(2)
牢记并熟练运用实数绝对值的有关性质以及几个常见的不等式．（它们是
分析论证的重要工具）
教学难点：实数集的概念及其应用．
教学方法：讲授．（部分内容自学）
教学程序：
引 言
上节课中，我们与大家共同探讨了《数学分析》这门课程的研究对象、主要
内容等话题．从本节课开始，我们就基本按照教材顺序给大家介绍这门课程的主
要内容．首先，从大家
都较为熟悉的实数和函数开始．
[ 问题
]为什么从“实数”开始．
答：《数学分析》研究的基本对象是函数，但这里的“函数”是定义在“实
数集”上的（后继课《复变函数》研究的是定义在复数集上的函数）．为此，我
们要先了解一下实数的有关性质．
一、实数及其性质
1 、实数
．
[ 问题
]有理数与无理数的表示不统一，这对统一讨论实数是不利的．为以下
讨论的需要，我们把“有限小数”（包括整数）也表示为“无限小数”．为此
作如下规定
：
对于正有限小数 其中
，记 ；
对于正整数 则记 ；对于负有限小数（包括负整数） ，
则先将 表示为无限小数，现在所得的小数之前加负号．
0表示为
0
＝ (,q pq p
有 理 数 :任 何 有 理 数 都 可 以 用 分 数 形 式 为 整 数 且 q 0) 表 示 ，
也 可 以 用 有 限 十 进 小 数 或 无 限 十 进 小 数 来 表 示 .
无 理 数 :用 无 限 十 进 不 循 环 小 数 表 示 . | R x x 为 实 数 --全 体 实 数 的 集 合 0 1 2., n x a a a a 0 0 9, 1, 2, , , 0, ina i n a a 为非负整数 0 1 1. ( 1)9999 nn x a a a a 0, xa 0 ( 1).9999 xa y y 0.0000
f?Y[fN`?Dn?k"??Qsl?_?O?QlOS??Y'[f?Dn?^??w?NN?Y'[f?Dn?? Q Qzz?? : 8P 5 1 5 9 9 7P
2 例： ；
利用上述规定，任何实数都可用一个确定的无限小数来表示．在此规定下，
如何比较实数的大小？
2 、两实数大小的比较
1
） 定义 1给定两个非负实数 ， . 其中 为
非 负 整 数 ， 为 整 数 ， ．若有
，则称 与 相等，记为 ；若 或存在非负整数 ，
使得 ，而 ，则称 大于 或 小于 ，分别记为
或 ．对于负实数 、 ，若按上述规定分别有 或 ，则分别
称为 与 （或 ）．
规定
：任何非负实数
数学分析知识点总结 .pdf
