执笔编者：司马羽腾 海南海口市合作交流 QQ ： 1820894966
1
基本不等式
2 2
2 ( ) a b a b a b R 、
均值定理
和为定值，积有最大值 . 积为定值，和有最小值 .
与
()(0,0)
b
fxaxab
x
( ) ( 0) b f x x b
x
对勾函数
执笔编者：司马羽腾 海南海口市合作交流 QQ ： 1820894966
2
关于本资料
基本不等式、均值定理、对勾函数是高中数学求解最值和范围的一种数学
工具，对于学生来说要熟练地掌握和应用，对于老师来说则需对学生进行系统
地教学和传授解题经验。因此，编一份能让师生们系统地学习基本不等式、均
值定理、对勾函数是必要的。
本资料分为上、下两篇，上篇主要介绍在使用以上三者处理最值范围问题
时，必要的解法和技巧。下篇主要以题目为主，罗列均值不等式与各种高中数
学知识的交汇，为的是让师生们了解均值不等式在数学考试中的出题形式，也
为学习和复习均值不等式提供参考。本资料所有题目都附有参考答案，方便师
生们学习、对照、检查。
金无足赤 ， 人无完人 。 本人编的这份资料也不可能完美无缺 ， 问题总是存
在的。衷心希望能得到广大师生们的批评指正，使后期版本更加完善。
执笔编者：司马羽腾
定稿于： 2020 年 01 月 01 日
本资料 PDF 版免费提供，当然了你若觉得这份资料编得好，也可随意给予
鄙人小小小小小小的打赏，以资鼓励鄙人继续更新、编辑、分享与众。
执笔编者：司马羽腾 海南海口市合作交流 QQ ： 1820894966
3
目录
上篇
一、基本不等式的证明与常用的变形结论 ……………………………………………… 4
二、均值不等式与对勾函数的图像性质 ………………………………………………… 5
三、 均值不等式、对勾函数的经典应用及其处理技巧
经典应用一：求最值 ………………………………………………………………… 8
技巧 1：直接使用均值不等式与对勾函数的性质 ………………………………………… 8
技巧 2：配凑 ………………………………………………………………………………… 9
技巧 3：分离后定向变形 …………………………………………………………………… 10
技巧 4：分离 +换元结合对勾函数 …………………………………………………………… 11
技巧 5：整体代换（乘 “ 1” 法） …………………………………………………………… 12
技巧 6：代换减元 ………………………………………………………………………………… 13
技巧 7：取平方 …………………………………………………………………………………… 13
技巧 8：展开、变形后使用均值不等式 ………………………………………………………… 14
技巧 9： 和积混合，定向 构造 …………………………………………………………………… 15
经典应用二：均值不等式在恒成立问题的应用 ………………………………………
均值定理与对勾函数超级讲义（97页 含答案）.pdf
