. I .
按照“新高掌”的思路求解 2021高考数学压轴题
(2021 新高考 22)已知函数 f(x ) = x(1 lnx).
(I) 讨论 f(x ) 的单调性 ;
(II) 设a, b 为两个不相等的正数 ,且 bln a aln b= a b, 证明 2< 1
a+
1
b<
e.
【解题人】张杨文 ,
方法源自新高掌函数 6.4节(第 347 页).
【 解析 】(I) 对f(x ) 求导可得 f′
( x ) = ln x, 令 f′
( x ) > 0, 则 x2 (0;1) ;令 f′
( x ) < 0, 则
x 2 (1;+ 1 ). 故 f(x ) 在 (0;1) 上单调递增 ,在 (1;+ 1 )上单调递减 .
对于第 (II)问,先来分析一下 .观察式子应该能联想到应该在
bln a aln b= a b
的两边同时除以 ab,可得
lna
a
ln
b
b=
1
b
1
a:
显然 ,需要移项 ,即将含有 a的放在一边 ,另一边只含有 b, 也就是
ln a
a+
1
a=
ln
b
b+
1
b:
(0.0.1)
再观察结论 ,我们需要将 1
a看成一个整体
,所以将 (
0.0.1 )中的 lna换成 ln 1
a;
同理也将 lnb换
成 ln 1
b,
即
ln
1
a
a+
1
a=
ln
1
b
b+
1
b,
1
a
1
aln
1
a=
1
b
1
bln
1
b:
显然 ,我们需要构造函数 x xln x, 这就是题中给出的函数!
令 m= 1
a,
n = 1
b,
则第 (II)问等价可转化为 :若 f(m ) = f(n ), 证明 2< m +n < e.
首先证明 m+n > 2. 因为 f(m ) = f(n ), 所以由图
0-1 可知0< m < 1, 1 < n < e.这是典
型的极值点偏移的题 ,
利用新高掌函数方法总结 6.3(第347 页)
:
m +n > 2
,m > 2 n
,f(m )> f (2 n)
,f(n ) > f (2 n)
然后构造辅助函数 g(x ) = f(x ) f(2 x)( x 2 (1;2) )并须证明 g(x ) > 0. 因为 g(1) = 0 ,所以只
.
II .
须证明 g(x ) 在 (1;2) 上单调递增即可 .求导可得
g ′
( x ) = f′
( x ) + f′
(2 x) = ln x ln(2 x) = ln[x (2 x)] > 0:
也就是左边的不等式得证 .
然后再来证明 m+n < e,继续按上述的做法可得
m +n < e
,m < e n
,f(m )< f (e n)
,f(n ) < f (e n)
:
不幸的是 ,这是错误的!!因为 e n并不落在 (0;1) 内,所以不能利用函数 f(x ) 在 (0;1) 上的
递增性 ,即不能将 m >e n转化为 f(m )> f (e n).
因此我们需要这么转化 :
m +n < e
,n < e m
,f(n ) > f (e m)
,f(m )> f (e m)
:
上述的转化之所以是正确的是因为 n和 e m 均落在 (1;e) 内 .
图0-1
图0-2
然后构造辅助函数 h(x ) = f(x ) f(e x)( x 2 (0;1) )并须证明 h(x ) > 0. 求导可得
h ′
( x ) = h′
( x ) + h′
( e x) = ln x ln(e x) = ln[x (e x)] :
如图
0-2 为h′
( x ) 在 (0;1) 上的大致图像 ,则 h(x ) 在 (0; x
0)
上递增 ,
新高掌-2021真题集锦-分析.pdf