方法精讲 - 数量 4
（ 笔记 ）
主讲 教师： 唐宋
授课时间 ： 2019.12.17
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方法精讲 -数量 4（笔记）
第八节 容斥原理
【知识点】两集合公式： 集合是具有同一种属性集中在一起。
1. 例如： 某班有 缀 人， 有 35 人参加国考， 38 人参加省考， 24 人 两者 都参
加， 问都不参加的有多少人 ？
答： 两两之间有交叉，中间都参加是既属于国考又属于省考，还有都不属于，
属于容斥原理问题。 容斥就是多集合交叉问题。
方法一： 国考 35 人分为两部分，一部分是都参加，一部分是只参加国考，
则只参加国考的有 11 人 ； 同理，只参加省考的有 14 人， 只参加国考 +都参加 +
只参加省考 +都不 =11+24+14 +（ ） =50 ，解得（ ） =1 人。
方法二：已知国考人数和省考人数，则国考人数 +省考人数＞全班人数， 参
加国考人数和参加省考人数有重复，还需要减去重复的部分， 列式： 35+38 -24=50 -
都不，解得都不 =1 。
2. 两集合公式： A+B -A∩ B= 全 -都不。
【例 1】（ 2016 江苏）某班有 38 名同学，一次数学测验共有两道题，答对第
一题的有 26 人，答对第二题的有 24 人，两题都答对的有 17 人，则两题都答错
的人数是：
A.3 B.5
C.6 D.7
【解析】例 1. 都答错就是都不对，出现“都不”，直接用公式， A+B -A∩ B=
全 -都不。列式： 26+24 -17=38 -（ ），选项尾数不一样，考虑尾数法，尾 3= 尾
8-（ ） 的尾数 ，则（ ）的尾数为 5，对应 B项。 【选 B】
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【知识点】容斥原理的方法选择：
1. 公式法：题目中所给所求都是公式中的一部分 。 优先使用公式法，可以省
下画图时间。
2. 画图法：题目中所给所求在公式里没有，公式法不好用（往往是出现只满
足某一个条件） 。 比如“只答对第一题”或者“只答对第二题”，即出现“只 A”
“只 B”，“只 A”和“ A”不一样，“ A”是一个大圈，“只 A”是一个月牙型。
画图法三步走：
（ 1） 第一步，画圈圈 。 一般只考查两种或者三种，两种画两个圈，三种画
三个圈。
（ 2） 第二步，标数字（从里到外，注意去重） 。 比如题目中已知都参加有
5人，参加 A的有 18 人，应该将 18 标在 A的外面， A的里面标为 13 ，这样可以
避免重复 。
（ 3） 第三步，列算式 。
【例 2】（ 2018 联考）某试验室通过测评Ⅰ和Ⅱ来核定产品的等级：两项测
评都不合格的为次品
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