2021中科大创新班数学试题详细解析.pdf

专注培优 N多年：琪琪 1509 公众号：琪琪解数 1 2021 中 科 大 创 新 班 数 学 试 题 解 析 一 、 填 空 题 1. 设 R a ， 关 于 x 的 方 程 0 ) 50 4( 2 2 4     a x a x 有 四 个 实 数 解 且 成 等 差 数 列 ， 则 a . 解 析 ： 设 四 个 实 数 解 为 ， ， ， ， 且 ， 则 有 ， ， ， 可 知 ， 有 ， ， 可 得 ， 所 以 . 2. 棱 长 为 1 的 正 方 体 1 1 1 1 D CBA ABCD  中 ， 1 1D ACB 与 1 1C BDA 公 共 部 分 的 体 积 为 . 解 析 ： 易 知 公 共 部 分 为 正 方 体 六 个 面 中 心 所 围 成 的 几 何 体 ， 如 下 图 所 示 ： 可 知 . 3. 若 直 线 1 b y a x （ 0a ， 0b ）与 曲 线 x y 4  相 切 ，则 b a 的 最 小 值 为 . 解 析 ： 当 相 切 时 ， 有 ， 可 得 ， 所 以 ， 当 且 仅 当 ， 取 等 号 .????1509 专注培优 N多年：琪琪 1509 公众号：琪琪解数 2 4. 若 16 3 2 2 2 2 2 2         yz y z xz z x y x ， 则    yz xz xy 3 2 . 解 析 ： ， ， 应 该 是 正 数 ，构 造 如 下 边 长 为 的 等 边 ，满 足 ， ， ， ， ， ， 则 可 知 . 5. 一 小 球 在 0 ， 1 ， 2 ， … ， n 这 1n 个 位 置 移 动 ， 小 球 向 前 向 后 移 动 一 个 单 位 的 概 率 都 为 2 1 .若 在 0 处 ， 则 小 球 只 能 向 前 移 动 ， 若 初 始 位 置 在 0 处 ， 则 首 次 移 动 到 n 的 步 数 的 期 望 为 . 解 析 ： 设 首 次 从 到 的 步 数 期 望 为 ， 则 有 ， 所 以 ， 可 得 ， 又 小 球 在 处 ， 只 能 向 前 移 动 到 ， 则 有 ， 所 以 ， 又 有 ， 则 . 二 、 在 ABC  中 ， 证 明 ： 2 cos 3 cos cos 2 3    C B A . 证 法 一 ： ， 其 中 ；????1509 专注培优 N多年：琪琪 1509 公众号：琪琪解数 3 证 法 二 ： 由 嵌 入 不 等 式 有 ， 令 ， ， ， 则 有 ， ， ， 所 以 . 三 、 对 R ,   y x ， 有 ) 2 π( ) ( cos ) ( ) ( x f y f y x f y x f     ， 求 ) (x f 解 析 式 . 解 析 ： 取 ， ， 有 ， 取 ， 则 有 ， （ Ⅰ ） 若 ， 对 任 意 均 成 立 ， 可 得 ， 符 合 ； （ Ⅱ ） 若 不 恒 为 ， 有 ， 取 ， 有 ， 对 任 意 均 成 立 ， 可 得 ； 综 上 可 知 或 . 四 、 已 知 1 ) (0  x g ， x x g ) (1 ， ) ( 2 )] ( [ ) ( 2 1 2 1 x g x g x g n n n n      ， 证 明 )