2021 年全国数学竞赛命题研讨会
资 料
主办：华东师范大学国际数学奥林匹克研究中心
上海市核心数学与实践重点实验室
承办：江西省吉安市第一中学
华东师范大学出版社
中国·吉安
2021 年 6 月
目 录
一、代数（ A ） 1 — 32
二、组合（ C ） 33 — 50
三、几何（ G ） 51 — 80
四、数论（ N ） 81 — 92
五、命题小品 1--- 旗鼓相当 93 — 107
命题小品 2--- 天造地设 108 — 116
1
代数（ A ）
A1 苏州中学 王朝和
已知 , , 0x y z ，且 8 8 8 3 x y z ，求证：
4 4 4
3 3 3 3 x y z
y z x
．
证明 ：记 4 4 4 t x y z ，则
8 8 8 4 4 4 6 3 2 2 2 x y z x y z .
2 4 4 4 8 8 8 3 x y z x y z ，
从而 3 3 t .
又
4 4 4 4
3 3 4 7 x x y x
y
，
2 4 4 4 4 4 4 1
2
t x y y z z x . 所以
4 4 2 4 4 4
3 3
3 3 4 3 4 7 7
2
x x t x y x t
y y
.
2 4 2
3
3 9 3 7 38 4 7
2 2 2 3 3
x t t t
y
.
又 3 3 t ，
2 2 7 2
3 3
t
，所以
4
3
2 38 4 12
3 3
x
y
.
即
4 4 4
3 3 3 3 x y z
y z x
.
A2 苏州中学 王朝和
已知实数 1 2, , , n a a a 满足：
1
1
2 i j i j n
n n
a a
. 求证： 2 1
1 1
1
n
i i n a
.
证明 ：原不等式等价于
2
2 1
1
1
n i
i i
a
n a
.
2 2 2
2 1 1 1
1
1
n n n i i i i i i i
a n a a
n a
2 2
1 1 1
2 1
n n
i j i i i j n i i
a a a n a
2021年全国高中数学竞赛命题研讨会资料.pdf
