排列组合的常见模型
（一）处理排列组合问题的常用思路：
1、 特殊优先 ： 对于题目中有特殊要求的元素 ， 在考虑步骤时优先安排 ， 然后再去处理无要求
的元素。
例如：用 0,1,2,3,4 组成无重复数字的五位数 ， 共有多少种排法 ？
解 ：五位数意味着首位不能是 0，所以先处理首位 ，共有 4种选择 ，而其余数位没有要求 ，只
需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为 44 496 NA 种
2、 寻找对立事件 ： 如果一件事从正面入手 ， 考虑的情况较多 ， 则可以考虑该事的对立面 ， 再
用全部可能的总数减去对立面的个数即可。
例如 ：在 10 件产品中 ，有 7件合格品 ，3件次品 。从这 10 件产品中任意抽出 3件 ，至少有一
件次品的情况有多少种
解 ： 如果从正面考虑 ， 则 “ 至少 1件次品 ” 包含 1件 ， 2件 ， 3件次品的情况 ， 需要进行分类
讨论 ， 但如果从对立面想 ， 则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可 ， 列式较为简单 。
33107 85 NCC （种）
3、先取再排（先分组再排列 ）：排列数 mnA 是指从 n个元素中取出 m 个元素，再将这 m 个元
素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆
分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。
例如： 从 4名男生和 3名女生中选 3人，分别从事 3项不同的工作，若这 3人中只有一名女
生，则选派方案有多少种。
解 ：本题由于需要先确定人数的选取 ，再能进行分配 （ 排列 ），所以将方案分为两步 ，第一步 ：
确定选哪些学生，共有 2143CC 种可能，然后将选出的三个人进行排列： 33A 。所以共有
213433 108 CCA 种方案
（二）排列组合的常见模型
1、捆绑法（整体法 ）：当题目中有 “ 相邻元素 ” 时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他
元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。
例如： 5个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法
解 ： 考虑第一步将甲乙视为一个整体 ， 与其余 3个元素排列 ， 则共有 44A 种位置 ， 第二步考虑
甲乙自身顺序 ， 有 22A 种位置 ， 所以排法的总数为 4242 48 NAA 种
2、插空法：当题目中有 “ 不相邻元素 ” 时，则可考虑用剩余元素 “ 搭台 ”，不相邻元素进行
“ 插空 ”，然后再进行各自的排序
注 ：（ 1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边
（ 2）要从题目中判断是否需要各自排序
例如：有 6名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法
解 ：考虑剩下
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