数学分析知识点总结(定积分).pdf

第一篇 分析基础 1.1 收敛序列 （收敛序列的定义） 定义： 设 是实数序列， 是实数，如果对任意 都存在自然数 ，使得只要 ， 就有 那么 收敛，且以 为极限，称为序列 收敛收敛于 ，记为 或者 定理 1： 如果序列 有极限，那么它的极限是唯一的。 定理 2（夹逼原理） ：设 ， 和 都是实数序列，满足条件 如果 ，那么 也是收敛序列，且有 定理 3： 设 是实数序列， 是实数，则以下三陈述等价 （ 1 ） 序列 以 为极限； （ 2 ） 是无穷小序列； （ 3 ） 存在无穷小序列 使得 （ 收敛序列性质 ） 定理 4： 收敛序列 是有界的。 定理 5： （ 1 ） 设 ，则 。 （ 2 ） 设 ， ，则 。 （ 3 ） 设 ， ，则 。 } { nx a 0 N N n  a xn } { nx a } { nx a a xn lim ) (    n a xn } { nx } { nx } { ny } { nz N n z y x n n n     , a z x n n  lim lim } { ny a yn lim } { nx a } { nx a {} nxa  {} na , 1, 2, . nnx a a n    } { nx a xn lim a xn lim a xn lim b yn lim b a y x n n    ) lim( a xn lim b yn lim ab y x n n ) lim( f?Y[fN`?Dn?k"??Qsl?_?O?QlOS??Y'[f?Dn?^??w?NN?Y'[f?Dn??QQzz??:835159973 （4 ） 设 ， ，则 。 （ 5 ） 设 ， ， ，则 。 （ 收敛序列与不等式 ） 定理 6： 如果 ，那么存在 ，使得 时有 定理 7： 如果 和 都是收敛序列，且满足 那么 0nx 0 lim  a xn a xn 1 1 lim  0nx 0 lim  a xn b yn lim lim lim lim nn nn yy b x x a  lim lim nnxy  0NN  0 nN nnxy  } { nx {} ny 0 ,, nnx y n N    lim lim nnxy  f?Y[fN`?Dn?k"??Qsl?_?O?QlOS??Y'[f?Dn?^??w?NN?Y'[f?Dn??QQzz??:835159973 1. 2 收敛原理 （单调序列定义 ） 定义： （１） 若实数序列 满足 则称 是递增的 或者单调上升的 ，记为 （２） 若实数序列 满足 则称 是递减的 或者单调下降 的 ，记为 （３）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。 定理１：递增序列 收敛的充分必要条件是它有上界，其上 确 界记为 。 定理 1推论： 递减序列 收敛的充分必要条件是它有下 界，其下 确界记为 。 扩展： 因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关， 所以定理 1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一