复变函数与积分变换复习重点.pdf

复变函数复习重点 (一)复 数的概 念 1. 复数的 概念： ， 是实数, . . 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小 . 2. 复数的表示 1 ）模： ； 2 ）幅角：在 时，矢量与 轴正向的夹角，记为 （多值函 数）；主值 是位于 中的幅角。 3 ） 与 之间的关系如下： 当 ； 当 ； 4 ） 三角表示 ： ，其中 ；注：中间一定是“ +” 号。 5 ） 指数表示 ： ，其中 。 (二 ) 复数的运算 1. 加减法 ：若 ，则 2. 乘除法 ： 1 ）若 ，则 ； 。 2 ）若 , 则 z x iy ,xy     Re , Im x z y z 2 1 i  22 z x y 0 z x   Arg z   arg z ( , ]    arg z arctan y x 0, x arg arctan y z x  0, arg arctan 0, 0, arg arctan y yz x x y yz x                 cos sin z z i   arg z   i z z e   arg z   1 1 1 2 2 2 , z x iy z x iy         1 2 1 2 1 2z z x x i y y      1 1 1 2 2 2 , z x iy z x iy         1 2 1 2 1 2 2 1 1 2z z x x y y i x y x y           1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y              12 1 1 2 2 ,ii z z e z z e   f?Y[fN`?Dn?k"??Qsl?_?O?QlOS??Y'[f?Dn?^??w?NN?Y'[f?Dn??QQzz??:835159973 1 ； 3. 乘幂与方根 1 ） 若 ，则 。 2 ） 若 ，则 （有 个相异的值） （三）复变函数 1 ．复变函数： ，在几何上可以看作把 平面上的一 个点集 变到 平面上的一个点集 的映射 . 2 ． 复初等函数 1 ）指数函数： ， 在 平面处处可导，处处解析； 且 。 注： 是以 为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 3 ） 对数函数： （多值函数） ； 主值： 。（单值函数） 的每一个主值分支 在除去原点及负实轴的 平面内处处 解析，且 ； 注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 3 ）乘幂与幂函数： ； 注：在除去原点及负实轴的 平面内处处解析，且 。 4 ）三角函数： 在 平面内解析，且 注：有界性 不再成立；（与实函数不同）   12 1 2 1 2 i z z z z e     12 1 1 22 i z z e zz   (cos sin ) i z z i z e      (cos sin )nn n inz z n i n z e    