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数学物理方法总结 第一章 复变函数 复数的代数式 :z=x+iy 复数的 三 角式 和 指数式 : 和 欧拉公式 :{ 柯西 - 黎曼方程 (或称为柯西 -黎曼条件 ):{ (其中 f(z)=u+iv) 函数 f(z)=u+iv 在点 及其领域上处处可导 ,则称 f(z)在 点解析 .在区域 B上每一点 都解析, 则称f(z)是在区域 B上的解析函数 . 解析函数的性质 : 1. 若函数 f(z)=u+iv 在区域B上解析, 则 ( 为常数) 是B上的两组正交曲线族 . 2.若函数在区域 B上解析 ,则 u,v 均为 B上的调和函数 ,即 例题 : 已知 某解析函数 f(z)的实部 , 求虚部和这个解析函数 . 解答 : 由于 =2; = -2; 则 曲线积分法 = 2x; = -2y. 根据 C-R 条件有: =2y; =2x. 于是 ; (cos sin ) z    i ze   1 sin ( ) 2 1 cos ( ) 2 iz iz iz iz z e e i z e e     uu xy vv xy       0z 0z 12 ( , ) , ( , )u x y C v x y C  12, CC 22 22 0 uv xy    22 ( , )u x y x y  2 2 u x   2 2 v y   22 22 0 uv xy    u x   u y   v x   v y   22 dv ydx xdy  ( ,0) ( , ) ( 0,0) ( ,0) ( , ) ( , ) ( ,0) (2 2 ) (2 2 ) (2 2 ) 22 x x y x xy xy x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy C xdy C xy C                 f?Y[fN`?Dn?k"??Qsl?_?O?QlOS??Y'[f?Dn?^??w?NN?Y'[f?Dn??QQzz??:835159973 凑全微分显式法 由上式 可知 则易得 则显然 不定积分法 上面已有 =2y; =2x 则第一式对 y积分 ,x视为参数, 有 . 上式对 x求导有 , 而由 C-R 条件可知 , 从而 . 故 v=2xy+C. 第二章 复变函数的积分 单连通区域柯西定理 如果函数 f(z)在闭单连通区域 上解析 ,则沿 上任意一分段 光滑闭合闭合曲线 l(也可以是 的边界 ),有 . 复连通区域柯西定理 如果 f(z) 是闭复连通区域上的单值解析函数 ,则 . 式中 l为区域外边界线 ,诸 为 区域内边界线 ,积分均沿边界线的正方向进行 .即 . 柯西公式 n 次求导后的柯西公式 第三章 幂级数展开 幂级数 22 dv ydx xdy  (2 ) dv d xy  2 v xy C v x   v y   2 ( ) 2 ( ) v xy x xy x 