高考数学中涂色问题的常见解法及策略
与涂色问题有关的试题新颖有趣 ,近年已经在高考题中出现，其中包含着丰富的数学思
想 。 解决涂色问题方法技巧性强且灵活多变 ， 因而这类问题有利于培养学生的创新思维能力 、
分析问题与观察问题的能力，有利于开发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型及求
解方法
一、 区域涂色问题
1、 根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
例 1、 用 5种不同的颜色给图中标 ① 、② 、③ 、④ 的各部分涂色 ，每部分只涂一种颜色 ，
相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法有多少种？
[来源:学科网]
分析 ： 先给 ① 号区域涂色有 5种方法 ， 再给 ② 号涂色有 4种方法 ， 接着给 ③ 号涂色方法 有
3种 ，由于 ④ 号与 ① 、② 不相邻 ，因此 ④ 号有 4种涂法 ，根据分步计数原理 ，不同的涂色方法
有 5 4 3 4 240
2、 根据共用了多少种颜色讨论 ，分别计算出各种出各种情形的种数 ，再用加法原理求出
不同的涂色方法种数。
例 2、四种不同的颜色涂在如图所示的 6个区域，且相邻两个区域不能同色。
分析：依题意只能选用 4种颜色，要分四类：
（ 1） ② 与 ⑤ 同色、 ④ 与 ⑥ 同色，则有 44A ；
（ 2） ③ 与 ⑤ 同色、 ④ 与 ⑥ 同色，则有 44A ；
（ 3） ② 与 ⑤ 同色、 ③ 与 ⑥ 同色，则有 44A ；
（ 4） ③ 与 ⑤ 同色、 ② 与 ④ 同色，则有 44A ；（ 5） ② 与 ④ 同色、 ③ 与 ⑥ 同色，则有 44A ；
所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 44A =120
例 3、如图所示 ，一个地区分为 5个行政区域 ，现给地图着色 ，要求相邻区域不得使用同一颜
色，现有 4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
分析：依题意至少要用 3种颜色
1) 当先用三种颜色时，区域 2与 4必须同色，
2) 区域 3与 5必须同色，故有 34A 种；
3) 当用四种颜色时，若区域 2与 4同色，
4) 则区域 3与 5不同色 ，有 44A 种 ；若区域 3与 5同色 ，则区域 2与 4不同色 ，有
44A 种，故用四种颜色时共有 2 44A 种。由加法原理可知满足题意的着色方法共
有 34A +2 44A =24+2 24=72
②
① ③ ④
2
4
3 1 5
①
② ③
④
⑤
⑥
3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手 ，
分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例 4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相
邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反
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