数学分析知识点总结(微分方程).pdf

2.7 ．微分方程初步 2.7.1 概说 涉及到量的变化率满足的制约关系，通常是含有导数的方程 ——微分方程。 简单例子： （ 1 ）放射性物质，在每一时刻 ，衰变的速率 （由于是减少，因此 ，速率为 标量，是正值）正比于该放射性物质尚存的质量，因此质量应满足一下微分方程。 （ 2 ）质量为 的物体自由落体，取坐标轴沿竖直方向指向地心，下落距离 应该满 足牛顿第二定律 ，即 （ 3 ）质量为 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地 心，则 时刻下降距离 满足 （ 1 ） 如下图所示，钢球在以水平光滑杆上，受到弹力而来回整栋，原点位置为 ，钢球在 时刻的坐标 满足微分方程 如果钢球还受到一个与速度成正比，方向与速度相反的阻尼力的作用，那么它所满足的微分 方程是 总结 ： 最简单的一阶微分方程是 其中 是自变量，上述方程的一般解应该是 t dm dt  0 dm dt  dm km dt  m () y y t F ma  2 2 dy mg m dt  m t () y y t 2 2 dy d y mg k m dt dt  O t () x x t   2 2 dx kx m dt  2 2 dx d x kx h m dt dt    () dx ft dt  t () x f t dt C f?Y[fN`?Dn?k"??Qsl?_?O?QlOS??Y'[f?Dn?^??w?NN?Y'[f?Dn??QQzz??:835159973 最简单的 阶方程 它等价于说 是 的原函数，即 则再次积分，一直积分下去得到 n () n n dx ft dt  1 1 n n dx dt   ()ft 1 1 () n n dx f t dt C dt    1 11 () ( 1)! n nn t x f t dt dt C C t C n          f?Y[fN`?Dn?k"??Qsl?_?O?QlOS??Y'[f?Dn?^??w?NN?Y'[f?Dn??QQzz??:835159973 2.7.2 一阶线性微分方程 考察下面的方程 方程中有未知函数的一阶导数，且其一阶导数的系数为常数，其余部分未知函数最高层次数 为一次，称为线性，上述方程为 一阶线性微分方程 。如果 ，则称为 一阶线性常微分 方程。 试着求解上述方程 ，方程两端都乘以 ，得到 即为下面的形式 即 于是有 那么有 这就是一阶线性微分方程的 一般解 。 这个解法的关键部分是以 乘以方程两 端 。 简单的例子 （ 1 ）质量为 的跳伞员下落，所受空气阻力正比下降的速度，取坐标轴沿竖直方向指向地 心，则 时刻下降距离 满足 由于速度 ，因此方程化为 方程两边同时乘以 ，则有 ( ) ( ) dx a t x b t d