常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
习 题 2-1
判断下列方程是否为恰当方程，并且对恰当方程求解：
(3 x 2 −1) dx +(2 x +1) dy =0
解： P(x , y ) =3 x 2 − 1 ， Q (x , y ) =2 x +1 ，
则
∂
∂
P
y =0 ， ∂
∂
Q
x =2 ，所 以 ∂
∂
P
y ≠ ∂
∂
Q
x 即，原方程不是恰当方程．
(x+2y)dx +(2 x + y)dy =0
解 ： P (x , y ) = x +2 y, Q (x , y ) =2 x − y,
则 ∂
∂
P
y =2, ∂
∂
Q
x =2, 所 以 ∂
∂ P
y =
∂
∂ Q
x ，即 原方程为恰当方 程
则
xdx +(2 ydx +2xdy ) − ydy =0,
2 2
两边积分得： x +2xy − y =C . 2 2
3． (ax +by )dx +(bx +cy )dy =0 (a,b 和 c为常数 )．
解：
P (x , y ) =ax +by , Q(x , y ) = bx +cy ,
则 ∂
∂
P
y =b, ∂
∂
Q
x =b, 所 以 ∂
∂P
y =
∂
∂
Q
x ，即 原方程为恰当方 程
则
axdx + bydx +bxdy cydy =0 , （） +
两边积分得 ： ax 2
+bxy +cy
2
=
C. 2 2
4． (ax −by )dx +(bx −cy )dy =0 ( b ≠0)
解： P(x , y ) =ax −by , Q(x , y ) = bx −cy ,
则 ∂
∂
P
y = − b, ∂
∂
Q
x =b, 因 为 b ≠0, 所 以 ∂
∂
P
y ≠ ∂
∂
Q
x ，即，原方程不为恰当方程
-1
常微分方程教程（第二版）-丁同仁等编-高等教育出版社-参考答案
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习题 4- 1
1．求解下列微分方程
1）
2
2 2
4
2 x
px
p
y +
+
= )
( dx
dy p
=
解 利用微分法得
0
)
1
)(
2
( =
+
+
dx
dp
p
x
当
10
dp
dx += 时，得 p xc
=−+
从而可得原方程的以 P为参数的参数形式通解
22 2 42y p px x
p xc
=++
=−+
或消参数 P，得通解
)
2
( 2
1
2
2x
cx
c y −
+
=
当
20 xp += 时，则消去 P，得特解 2x
y −
=
2）
2 ()
y pxlnx xp = + ；
=
dx
dy
p
解 利用微分法得
( 2) 0 dp
lnx xp x p
dx
+ +=
当
0
=
+ p dx
dpx 时，得
c
px =
从而可得原方程以 p为参数的参数形式通解：
2 ()
y pxln xp
px c
= +
=
或消 p得通解 2 y Clnx C= +
当
20
lnx xp += 时，消去 p得特解 2 1
()
4
y lnx
= −
3）
( ) 2 1
p
p
x
y +
+ =
=
cx
dy
p
解 利用微分法，得
x
dx
p p
p
−
=
+ +
+ 2 2 1
1 两边积分得
(
) c
x
P
P
P =
+
+
+ 2
2 1
1
由此得原方程以 P为参数形式的通解：
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