圆锥曲线 常见条件翻译转化
第一节 :三角形的面积表达
一、直线 l与圆锥曲线 C 的位置关系的判断
判断直线 l与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l的方程 0 Ax By c + +=
代入圆锥曲线
C 的方程 ( ) ,0
F xy = ,消去 y(也可以消去 x)得到关系一个变量的
一元二次方程,, 即
()
0
,0
Ax By c
F xy + +=
=
,消去 y后得 2 0 ax bx c + +=
(1) 当
0 a= 时,即得到一个一元一次方程 ,则 l与 C 相交, 且只有一个交点 ,此时,
若
C 为双曲线 ,则直线 l与双曲线的渐近线平行 ;若 C 为抛物线,则直线 l与抛物线
的对称轴平行
(2) 当
0 a≠ 时, 0 ∆> ,直线 l与曲线 C 有两个不同的交点 ; 0 ∆= ,直线 l与曲
线
C 相\b7 ,即有唯一的公共点(切点); 0 ∆< ,直线 l与曲线 C
二、圆锥曲线的弦
连接圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦
直线
( ) :, 0l f xy = , 曲线 ( ) :F , 0,A,B C xy = 为 l与 C 的两个不同的交点 ,坐标分别为
( )( ) 11 2 2,, ,
Ax y Bx y ,则 ( )( ) 11 2 2,, ,
Ax y Bx y 是方程组 ( )
( ) ,0
,0
f xy
F xy =
=
的两组解,
方程组消元后化为关于
x 或y 的一元二次方程 2 0 Ax Bx c + += ( 0 A≠ ) ,判别式
2 4 B AC
∆= − ,应有 0 ∆> ,所以 12,
xx 是方程 2 0 Ax Bx c + += 的根 ,由根与系数关
系(韦达定理)求出 1 2 12 ,BC x x xx AA +=− = , 所以 ,
AB 两点间的距离为
() 2
22 2
1 2 1 2 12 1 1 41
AB k x x k x x x x k
A∆
=+ −=+ + − =+ ,即弦长公式 ,弦长
公式也可以写成关于
y的形式
( ) () 2
22
1 2 1 2 12 1 1 40
AB k y y k y y y y k =+ −=+ + − ≠
三、三角形面积求法
方法 1
2 ×
底 高 C
ab sin
2
1 12 1 2
12 1 2 11
:,
22
S FF y y S FF x x ∆∆= −= −
拆分
适合题型 一切题型 边角已知的题 过定点的题
备注 不一定简单 简单 简单
【基础】
【例 1】. 设 12FF， 分别是椭圆
2 2 2 10 + 1 y Ex b b = ： （ ＜ ＜ ）的左、右焦点,过 1F 的直线 l与 E相
交于
AB、 两点,且 22 | || || | AF AB BF ， ， 成等差数列.
(1)求 ||AB ;
(2)若直线 l的斜率 1为,求 b的值.
【解答】解:(1)由椭圆定义知|AF 2|+|AB|+|BF 2|=4
又2|AB |=|AF 2|+|BF 2|,得 |???????????????????????? |= 4
3
(2)L 的方程式为 y=x+c,其中 ????????????= √1 − ???????????? 2
设A(x 1,y1),B(x 2,y2),则 A,B 两点坐
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