数学物理方法复习提纲总结.pdf

第 1 页 共 18 页 复变函数论 复变函数： 若在复数平面上存在一个点集 ，对于 中的每一点 ，按照一定的规律，有 一个或多个复数值 与之相对应，则说在点集 上定义了一个复变函数，记作： ， 点集 叫作函数的定义域 令： ，并将 代入，则有： 初等复变函数： 指数函数： 三角函数： , , 1 ）因为 ， ，所以 ， 具有实周期 2 ） ， 为无界函数。 3 ） 双曲线函数： ， ， 对数函数： 幂函数： 一般指数函数： 复变函数的导数： 设函数 是在区域 上定义的单值函数，对于 上的某点 ，如 果极限 存在，则称函数 在点 处可导，此极限叫作 函数 在点 处的导数，表示为 : 复变函数可导的充要条件： 复变函数 可导的充要条件是偏导数E E z w E ) (z f w  E iv u z f w    ) ( iy x z   ) , ( ) , ( ) ( ) ( y x iv y x u z f w iv u z f w iy x z             ) sin (cos y i y e e e e e x iy x iyx z       iz iz e ei z    2 1 sin z z z cos sin tan  z z z sin cos cot  z z sin ) 2 sin(    z z cos ) 2 cos(    z sin z cos 2 z sin z cos 2 1 2 1 2 1 sin sin cos cos ) cos( z z z z z z    2 1 2 1 2 1 sin cos cos sin ) sin( z z z z z z    1 cos sin 2 2   z z  z z e e shz    2 1  z z e e chz    2 1 chz shz thz  iArgz z Lnz iv u w      ln 为复常数） （      Argzi z Lnz e e e z ln   为复常数） （      ziArg z zLn z e e e ln   ) (z f w  E E z z z f z z f z w z z         ) ( ) ( lim lim 0 0 ) (z f w  z ) (z f w  z ) ( ) ( ) ( ) ( lim lim 0 0 z f dz z df z z f z z f z w z z            ) , ( ) , ( ) ( y x iv y x u z f w    f?Y[fN`?Dn?k"??Qsl?_?O?QlOS??Y'[f?Dn?^??w?NN?Y'[f?Dn??QQzz??:835159973 第 2 页 共 18 页 ， ， ， 存在、连续，并且满足柯西 -黎曼条件，即： ， 解析函数 (全纯函数，正则函数 )：如果函数 在 点及其邻域内处处可导，那么称 在 点解析。如果 在区域 内每一点都解析，那么称 在 内解析，或称 为 内的一个解析函数。 注： 在某点 解析 在该点可导 该点连续 该点有极限 区域解析 区域可导，即解析函数是函数在一个区