野生数学圆锥曲线核心思想.pdf

第 一 章 解析几何的核心思想 第 一 节 条件的转化与翻译 （一） 解析几何总思路 原计划在第一章节先讲解圆锥曲线的基本概念与性质，及其常见的应用，诸如离心率问题，但 思来想去，最终还是决定将“核心思想”部分放置在第一章． 在导言中我们便提到，解析几何除了算的问题之外，更关键的还是其内核“几何”的代数化翻 译．不管是大题抑或是小题，题目必将给出较为核心的关键信息，解题的过程便是考查如何将其进 行合理的代数化翻译，最终建立其与问题之间的关系．在这个过程中，韦达就是月老，他手中的韦 达定理便是红线，建立已知条件与目 标间的纽带．解析几何的解题框架大致如下： 围绕着中间四大关键步骤，伴随着其他问题的产生，再将这些问题一一解决，这便是解析几何 的大致过程．且看下例： 直线 抛物线 交于 、 两点，且满足 ，证明：直线 过定点． 麻雀虽小，五脏俱全．本题题设简单，但需要分析与思考的点依然很全面．借助此例，我们仔细谈 谈解析几何该如何思考，思考什么，同时也对上述导图加以说明． 此题中，我们需要思考以下问题： 问题 1 ：显性条件和目标信息如何翻译 ？ 问题 2 ：是否存在隐形条件及关系 ？ 问题 3 ：目标信息“直线过定点”如何表达 ？ 以上 3 个问题背后，又关联着其他的问题，以下将一一引出并作解答． 对于问题 1 ，即“题目核心条件”即 “目标信息”的翻译．显然，题目中 的核心条件为“ ”， 几何上的垂直关系，在代数上，可以翻译为斜率乘积为 ，即 也可以从向量角度翻译为数量积为 0 ，即 这两者在代数式上的体现并无太大差异，但有一处需要引起重视，即如翻译成斜率形式，直线 、 斜率是否一定存在？ 这点在问题 2 中还会再作说明． l 2 2 yx = A B OA OB ⊥ l OA OB ⊥ 1 − 1 OA OB kk  = − 0 OA OB = OA OB 2 通过上述两种形式，我们便完成了几何信息的翻译，此处以数量积形式翻译为例．一方面，若 要表达 ，则需要点 、 的坐标，因此便涉及到参数的引入问题： 问题 4 ：需引入哪些参数 ？ 参数的引入其实还是取决于目标信息的表达．通常情况下，我们都是通过设点及设线的方式引 入参数，既设点坐标，也设直 线．而通过韦达定理及核心条件，即可建立参数之间的关系．如此处 设 ， ，因此由 ，则有 另一方面，从目标信息来看，要证明直线 过定点，由于此处没有直线 的表达式，故还需对直 线形式进行假设．此处便出现下一个问题： 问题 5 ：如何假